本来以为这还挺基本的，但是最近被人问了好几次，觉得还是多说（水）几句。
（其实就是在家太无聊了睡不着，又不想填DQMC和SSE的大坑）
这个人开始编剧本了：
蒙卡里为了得到稳态分布 \(\pi\) ，我们需要怎么做呢？这就说来话长了：
在山的那边海的那边，有着斯坦国，玄武国，和小鸡岛。斯坦国的王子，在学蒙卡，就找了该国的签证官教他。签证官说：
斯坦国有100万居民，玄武国有200万，小鸡岛有100个居民。为了世界和平，为了人口分布稳定，作为签证官我要怎么做呢？
王子说：
这还不简单？**让从我们国家出去的人数，和进来的人一样多，**我们的100万就能保持住了。
签证官：
对， 只需要**，** 斯坦国的人口 * 斯坦->玄武 的申请率 *玄武国对斯坦的签证通过率 + 斯坦国的人口 * 斯坦->小鸡 的申请率 *小鸡岛对斯坦的签证通过率， 和 玄武国的人口 * 玄武->斯坦 的申请率 *斯坦国对玄武的签证通过率+小鸡岛的人口 * 小鸡->斯坦 的申请率 *斯坦国对小鸡的签证通过率 相等。 写成公式就是**：** \(\sum_j \pi(i) Q(i, j) \alpha(i, j)=\sum_j \pi(j) Q(j, i) \alpha(j, i)\) ，其中 \(\pi(i)\) 表示 \(i\) 国人口（占比）， \(Q(i,j)\) 表示 \(i\) 国到 \(j\) 国的申请的概率， \(\alpha (i,j)\) 表示 \(i\) 国到 \(j\) 国的签证通过率。
王子：
要求还挺多的，世界和平稳定这么难啊？这就是我们总说的，细致平衡条件吗？
签证官：
这不是。如果非要给个名字的话，这个叫平衡条件好了。你说的对，这要求太多了，是不太容易达到，如果真的这么做，你老爹要给我多开三倍的工资才行。实际上大家并没有这么做。
王子：
哦我知道了，我只需要让我们去玄武国的人和玄武国来的人，一样多。让去小鸡岛的人和小鸡岛来的人一样多，就能保证总的出去的和总的进来的人数相一致。也就是满足\(\pi(i) Q(i, j) \alpha(i, j)= \pi(j) Q(j, i) \alpha(j, i)\) 就可以了。
签证官：
这个就是我们所说的**细致平衡条件（detailed balance condition）**了。
王子：
这样看，小鸡岛人口那么少，如果我们多拒签他们一个人，他们岂不是要多拒签我们…我算算…100万除以100，他们要多拒签我们10000个人！那这个世界人才流动状况也太差了吧！
签证官：
你这么算不一定对哟，你这么直接算人口比 \(\frac{\pi(j)}{\pi(i)}\) ，是假定了大家互相申请去往对面的概率相等，也就是假定了 \(Q(i, j) =Q(j, i)\) ，但这可说不好呀。如果我没记错，如果做了这样的假定，就叫做Metropolis 算法，不做这样的假定，可能出现 \(Q(i, j) \neq Q(j, i)\) 的情况的话，就是我们常说的Metropolis-Hasting 算法了。
王子：
是的，是我没注意这样的细节。小鸡岛这地方太小了，肯定是他们更愿意来我们斯坦国，我们斯坦国的愿意去他们岛上的少一些。 你还没回答我之前的问题呢。
签证官：
所以实际上，因为小鸡岛的人口比我们少，如果两边互相申请的意愿一样的话，也就是考虑Metropolis 算法的话，只要是小鸡岛来的人，我们都给了签证的。也就是说，大家的签证通过率是： \(\alpha(i, j)=\min \left\{\frac{\pi(j) }{\pi(i) }, 1\right\}\) 。就像你小时候写程序算Ising模型的，local的更新，每尝试翻转一个自旋，如果能量降低就一定接受，能量变高才按概率接受。 \(\alpha(i, j)=\min \left\{e^{-\beta \Delta E}, 1\right\}\)
王子：
我懂了。那么用Metropolis-Hasting 算法的话，接受率就是 \(\alpha(i, j)=\min \left\{\frac{\pi(j) Q(j, i)}{\pi(i) Q(i, j)}, 1\right\}\) 对吧？
签证官：
**你可真是个小机灵鬼，我现在放心你继承玄武国的凝聚态物理大业了。 **
王子：
可是我觉得还是有哪里不对，我看叔叔你天天不去上班，在这里给我讲课，你不需要去上班拒签的？这样世界人口分布就乱了呀！！！不能为了给我讲课就影响你的工作呀！
签证官：
没事，我为了给自己放假，搞了个小妙招。比如，我通告了全国，在小鸡岛上有着玄武国首席刺客：**伍六七！！！**杀人不眨眼，买东西不给钱。这样斯坦国的居民就都不愿意去小鸡岛了，小鸡岛的居民也更多的会往我们斯坦国逃了。也就是说，现在 \(\frac{ Q(j, i)}{ Q(i, j)}=\frac{\pi(i)}{\pi(j)}\) 了， \(\alpha(i, j)=\min \left\{\frac{\pi(j) Q(j, i)}{\pi(i) Q(i, j)}, 1\right\}=\min \left\{1, 1\right\}=1\) ，我们两边的签证官都不需要拒签，就只管放人过就好。
王子：
这个操作听起来有点耳熟……我知道了，像Wolff 算法我们就是这么做的，在按照概率长好cluster之后，就始终接受了！！！
签证官：
孺子可教也。
王子：
我还有最后一个问题：这个故事里，玄武国的出现是干嘛的？
签证官：
因为，刺客伍六七，是玄武国的首席刺客啊！！！！！
后记：
虽然早就对于细致平衡条件的公式推导烂熟于心，但这样的Picture我自己在最初学的时候，也没有这么明确。
虽然我暂时不跑路，但是愿天下都是用Wolff的，愿天下没有拒签，我认识的好朋友们，以及不认识的大家，人人有学上，人人有书读。
おやすみ~