我们已经知道，对于经典的系统，我们有配分函数：

\(Z=\sum_{C} e^{-\beta E_{C}}\)

其中 \(C\) 是Configuration的缩写。此时对于其中某一种构型，其对应的概率（权重）为：

\(p(C)=\frac{e^{-\beta E_{C}}}{Z}\)

在经典的MCMC中，我们做的事情无非是，给定了与构型有关的概率分布函数，然后来生成满足这个概率分布的样本。

对于物理量的测量则为：

\(\langle O\rangle=\frac{1}{Z} \sum_{C} O e^{-\beta E_{C}}\)

对于一个量子系统，量子统计的知识告诉我们：

\(Z=\operatorname{Tr}\left[e^{-\beta(H-\mu N)}\right]\)

此时的物理量的测量为：

\(\langle O\rangle=\frac{\operatorname{Tr}\left[e^{-\beta(H-\mu N)} O\right]}{\operatorname{Tr}\left[e^{-\beta(H-\mu N)}\right]}\)

自然的，如果我们还能把配分函数写成一系列正实数的求和，即写成类似经典概率分布的样子，我们不是就能继续用生成经典概率分布的方法，Metropolis-Hasting等来进行计算了吗？我们就要想办法把这些带着算符和左右矢的东西，变成一个number。还要是正的实数（否则如果是负数或者复数，就不太能用经典蒙卡方法来计算）。

DQMC主要用来计算有限温的费米子系统。在实际运作的过程中，其中只有二费米子的部分（自由费米子其实都手解了哈哈哈）。那么对于Hubbard Model这种含有四费米相互作用的哈密顿量，我们通常采取Hubbard-Stratonovich变换的方式，引入辅助场进行decouple。然后就变成了二费米子的形式，多了一个辅助场。（后面我们会知道不同的decouple的方式可能会导致符号问题的有无）

DQMC之所以叫行列式蒙特卡洛，就在于他将求Trace转化为了求一个矩阵的行列式。如我们要求形如以下形式的Trace：

\(\operatorname{Tr}\left[e^{-\sum_{i, j} \hat{c}_{i}^{\dagger} A_{i, j} \hat{c}_{j}}\right]=\operatorname{Det}\left[\mathbf{1}+e^{-\mathbf{A}}\right]\)

其中 \(A_{i,j}\) 为矩阵 \(A\) 的元素。我们可以看到求Trace的操作转化为了求一个单位阵 \(\mathbf{1}\) 加上矩阵 \(e^{-\mathbf{A}}\) 的行列式。

证明的方式多种多样，比如我们可以把e指数上的部分进行对角化，Trace即为对于 \(n_i=0,1\) 的所有可能性求和：

\(\operatorname{Tr}\left[e^{-\sum_{i, j} \hat{c}_{i}^{\dagger} A_{i, j} \hat{c}_{j}}\right]=\operatorname{Tr}\left[e^{-\sum_{k} \epsilon(k) \hat{c}_{k}^{\dagger}\hat{c}_{k}}\right]=\Pi_{k}\operatorname{Tr}\left[e^{- \epsilon(k) \hat{c}_{k}^{\dagger}\hat{c}_{k}}\right]=\Pi_{k}[1+e^{-\epsilon(k)}]\)

行列式就是本征值的乘积嘛，上述等式显然成立。

或者如果觉得e指数上带着算符不太直接，可以进行展开：

\(\exp \left(-c_{k}^{\dagger} \epsilon(k) c_{k}\right)=1-c_{k}^{\dagger} \epsilon(k) c_{k}+\frac{1}{2 !} c_{k}^{\dagger} \epsilon(k)c_{k} c_{k}^{\dagger} \epsilon(k) c_{k}-\frac{1}{3 !} \ldots\)

再利用 \(c_{k}^{\dagger} c_{k}+c_{k} c_{k}^{\dagger}=1\) 和 \(c_{k} c_{k}|\psi\rangle=0\) ，有：

\[ \begin{aligned} \exp \left(-c_{k}^{\dagger} \epsilon(k) c_{k}\right) &=1-c_{k}^{\dagger} \epsilon(k) c_{k}+\frac{1}{2 !} c_{k}^{\dagger} \epsilon(k)^{2} c_{k}-\frac{1}{3 !} \cdots \\ &=1+\left[e^{ -\epsilon(k)}-1\right] c_{k}^{\dagger} c_{k} \end{aligned} \]

（聪明的同学显然早就知道费米子的话 \(\hat{n}_{k} ^m=\hat{n}_{k}\) 了…）

而对DQMC重要的是，上式的推广形式。对于新的形式我们依旧能进行对角化（抄一下PhysRevB.31.4403）：

\(e^{-\sum_{i, j} c_{i}^{\dagger} A_{i, j} c_{j}} e^{-\sum_{i, j} c_{i}^{\dagger} B_{i, j} c_{j}}=e^{-\sum_{\nu} c_{\nu}^{\dagger} l_{\nu} c_{\nu}}\)

从单粒子态开始：\(e^{-A} e^{-B}\) 作用在 \(|\psi\rangle=c_{\nu}^{\dagger}|0\rangle\) ：

\(e^{-\sum_{i, j} c_{i}^{\dagger} A_{i, j} c_{j}} e^{-\sum_{i, j} c_{i}^{\dagger} B_{i, j} c_{j}}|\psi\rangle=\left(e^{-A} e^{-B}\right)_{\nu \nu} c_{\nu}^{\dagger}|0\rangle=e^{-l_{\nu}} c_{\nu}^{\dagger}|0\rangle\)

考虑一个多粒子态比如二粒子态 \(|\phi\rangle=c_{\mu_{1}}^{\dagger} c_{\mu_{2}}^{\dagger}|0\rangle\) ，有：

\[ \begin{aligned} e^{-c_{i}^{\dagger} B_{i j} c_{j}}|\phi\rangle &=\prod_{\mu}\left[1+\left(e^{-B_{\mu}}-1\right) c_{\mu}^{\dagger} c_{\mu}\right] c_{\mu_{1}}^{\dagger} c_{\mu_{2}}^{\dagger}|0\rangle \\ &=e^{-B_{\mu_{1}}} e^{-B_{\mu_{2}}} c_{\mu_{1}}^{\dagger} c_{\mu_{2}}^{\dagger}|0\rangle \end{aligned} \]

因此我们有：

\(\operatorname{Tr}\left[e^{-\sum_{i, j} c_{i}^{\dagger} A_{i, j} c_{j}} e^{-\sum_{i, j} c_{i}^{\dagger} B_{i, j} c_{j}}\right]=\operatorname{Det}\left(1+e^{-\mathbf{A}} e^{-\mathbf{B}}\right)\)

对于更一般的情况，形式不言自明。

（啊简单的开个小头，辉夜第二季完了，七月番看啥好呢？）