我们知道对于自由费米子系统，可以解析的直接求出格林函数等信息：\(G(i\omega_n)=\frac{1}{i\omega_n-(\epsilon_k-\mu)}\) （那还蒙卡个屁啊）
而对于像Hubbard Model这样的含有四费米子相互作用的模型，我们需要离散的Hubbard-Stratonovitch分解，通过引入辅助场来进行蒙卡的求解。
历史上，此类DQMC最早是用来解决玻色费米耦合的模型，又叫Blankenbecler-Scalapino-Sugar(BSS)算法，而之后1983年Hirsch提出了针对onsite库伦相互作用的Hubbard模型的HS变换，即通过引入辅助场，将相互作用decouple为无相互作用费米子和辅助场的耦合，才逐渐的能够简单的对相互作用费米子的系统进行DQMC的计算。
** Hubbard Model**的哈密顿量写作：
\(\hat{H}=-t \sum_{\langle i j\rangle \sigma} \hat{c}_{i \sigma}^{\dagger} \hat{c}_{j \sigma}+h . c .+U \sum_{i}\left(\hat{n}_{i \uparrow}-\frac{1}{2}\right)\left(\hat{n}_{i \downarrow}-\frac{1}{2}\right)\)
其中 \(i,j\) 是最近邻的格点的hopping， \(\sigma=\uparrow/\downarrow\) 是自旋的标记。
该哈密顿量和我们通常写的 \(U \sum_{i}\hat{n}_{i \uparrow}\hat{n}_{i \downarrow}\) 的Hubbard U项略有不同，无非是或多了化学势项或多了个常数，对于蒙卡来说我们关心的是权重之比，which is不同构型能量的差值，所以能量中的常数不影响最终得到的结果。我们后面会看到写作这种形式对于蒙卡计算的方便之处。
离散的Hubbard-Stratonovitch变换
在
中我们已经知道我们通常会把虚时分为 \(M\) 份：\(\beta=M\Delta \tau\) 。然后再做Trotter分解。这样做的原因是因为
\(\hat{H}_0=-t \sum_{\langle i j\rangle \sigma} \hat{c}_{i \sigma}^{\dagger} \hat{c}_{j \sigma}+h . c .\) 和 \(\hat{H}_I=U \sum_{i}\left(\hat{n}_{i \uparrow}-\frac{1}{2}\right)\left(\hat{n}_{i \downarrow}-\frac{1}{2}\right)\) 不对易。
我们想对 \(e^{-\Delta \tau \hat{H}_{I}}\) 做HS变换，于是就要把他分离出来： \(e^{-\Delta \tau \hat{H}}=e^{-\Delta \tau\left(\hat{H}_{0}+\hat{H}_{I}\right)}=e^{-\Delta \tau \hat{H}_{0}} e^{-\Delta \tau \hat{H}_{I}}+\mathcal{O}\left[(\Delta \tau)^{2}\right]\)
至于为什么是 \(\mathcal{O}\left[(\Delta \tau)^{2}\right]\) 的误差，有多种理解方式比如从BCH公式出发，这里不再多说了，留作QM习题
那么到底啥是HS变换呢？某种意义上说，就是逆的高斯积分。
在大一的热学课上我们应该就学过高斯积分的公式：\(e^{A^{2} / 2}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} \phi e^{-\frac{\phi^{2}}{2}-\phi A}\) （为啥这个分母2显示的带白块呢…破乎这个公式显示呀头疼）
而此时我们知道，Hubbard U项可以写成平方的形式： \(H_{U}=-\frac{U}{2}\left(n_{\uparrow}-n_{\downarrow}\right)^{2}+\frac{U}{4}\)
那么，此时把 \(A^{2}=\Delta \tau U\left(n_{\uparrow}-n_{\downarrow}\right)^{2}\) 代入前面的高斯积分的公式即可。这样我们发现通过引入 \(\phi\) ，我们把 \(A^2\) 的形式变为了 \(A\phi\) 的形式，是 \(A\) 的一次项。
有趣的是，对于Hubbard来说，我们有一种更巧妙的decouple方式： \(e^{-\Delta \tau H_{U}}=\gamma \sum_{s=\pm 1} e^{\alpha s\left(n_{\uparrow}-n_{\downarrow}\right)}\) ，其中 \(\gamma=\frac{1}{2} e^{-\Delta \tau U / 4}\) ， \(\cosh (\alpha)=e^{\Delta \tau U / 2}\)
系数可以通过考虑 \(e^{-\Delta \tau H_{U}}\) 在单个格点的希尔伯特空间得到：
\[ \begin{aligned} e^{-\Delta \tau U / 4}|0\rangle &=2 \gamma|0\rangle \\ e^{-\Delta \tau U / 4}|\uparrow \downarrow\rangle &=2 \gamma|\uparrow \downarrow\rangle \\ e^{\Delta \tau U / 4}|\uparrow\rangle &=2 \gamma \cosh (\alpha)|\uparrow\rangle \\ e^{\Delta \tau U / 4}|\downarrow\rangle &=2 \gamma \cosh (\alpha)|\downarrow\rangle \end{aligned} \]这种方式破坏了自旋的 \(SU(2)\) 对称性，我们可以选择 \(e^{-\Delta \tau H_{U}}=\tilde{\gamma} \sum_{s=\pm 1} e^{i \tilde{\alpha} s\left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}-1\right)}\) ，其中 \(\cos (\tilde{\alpha})=e^{-\Delta \tau U / 2}\) ， \(\tilde{\gamma}=\frac{1}{2} e^{\Delta \tau U / 4}\) ，代价就是引入了复数。
此处Hubbard Model的情况比较特殊才可以通过引入 \(\pm1\) 的辅助场来进行decouple，更一般的四费米相互作用（要求厄米），我们有更加一般的HS变换的方式，如引入 \(\pm1,\pm2\) 的辅助场：
\(e^{\Delta \tau \lambda A^{2}}=\sum_{l=\pm 1,\pm 2} \gamma(l) e^{\sqrt{\Delta \tau \lambda} \eta(l) O}+\mathcal{O}\left(\Delta \tau^{4}\right)\) ，其中 \(\begin{array}{c} \gamma(\pm 1)=1+\sqrt{6} / 3, \quad \gamma(\pm 2)=1-\sqrt{6} / 3 \\ \eta(\pm 1)=\pm \sqrt{2(3-\sqrt{6})}, \quad \eta(\pm 2)=\pm \sqrt{2(3+\sqrt{6})} \end{array}\)
这种方式不是严格的，有和 \(\Delta \tau\) 有关的误差，对于观测量来说，带来的误差是正比于 \(\Delta \tau^{3}\) 的。
而现在的这些系数是怎么求解得到的呢？感觉到处都直接丢结果很少有人动手说说咋来的，这里我们不妨设 \(\gamma(1)=\gamma(-1)=a, \quad \gamma(2)=\gamma(-2)=b, \quad \eta(1)=\sqrt{c}=-\eta(1), \quad \eta(2)=\sqrt{d}=-\eta(2)\)
然后将两边都泰勒展开到 \(O\left(p^{4}\right)\) ，有： \(\begin{array}{c} 1=\frac{1}{2}(a+b) \\ 1=\frac{1}{4}(a c+b d) \\ \frac{1}{2}=\frac{1}{48}\left(a c^{2}+b d^{2}\right) \\ \frac{1}{6}=\frac{1}{1440}\left(a c^{3}+b d^{3}\right) \end{array}\) ，
解得： \(\begin{array}{ll} a=1+\sqrt{6} / 3, & b=1-\sqrt{6} / 3 \\ c=2(3-\sqrt{6}), & d=2(3+\sqrt{6}) \end{array}\)
（我们后面会知道，不同的decouple方式，可能会导致符号问题的有无。所谓的符号问题此处就是对于辅助场的某个构型，对应的权重为复数或负数。比如隔壁就有decouple到马约拉纳表象从而避免了一类模型中的符号的工作。）
下一节将会推导一下引入辅助场之后，对于辅助场的具体构型，怎么计算相应的Weight。
等一个明天下午更新的春物！！！